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●整式f(x)と実数Cがインテグラル（上端x/下端0）f(y)dy + インテグラル（上端1/下端...


整式f(x)と実数Cがインテグラル（上端x/下端0）f(y)dy + インテグラル（上端1/下端0）(x+y)^2dy = x^2 + Cを満たすとき、このf(x)とCを求めよ。という問題です。展開してxを出すと、インテグラル（上端x/下端0）f(y)dy + x^2インテグラル（上端1/下端0）f(y)dy + 2xインテグラル（上端1/下端0）yf(y)dy = x^2 + Cとなりますが、模範解答ではここから両辺をxで微分しています。しかし、私はこれを微分方程式として、f(x)をn次式とおいて、解いてみました。f(x)をn次式とおくと、（左辺の最高次数）≦ n+1（右辺の最高字数）= 2与式はxについての恒等式であるから、（左辺の最高字数）＝（右辺の最高次数）より、2 ≦ n+1n ≧ 1となってしまいます。本当は n ≦ 1となるべきところですよね？このタイプの微分方程式の問題は以前にも解説をしてもらい、前回質問したときの問題では解決したのですが、問題が変わり、前回と同じやり方で解こうとすると、このように結果があわなくなってしまいます。私が解いた方法でどこが間違った答えが出た原因になっているのか教えてください。数学は苦手なほうなので、詳しめに解説してもらえるとありがたいです。また他の解き方があれば、そちらも教えてほしいです。もちろん、メインはどこが間違っているのかという方ですが。それではよろしくお願いします。


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●dxやdyを普通の分数のように扱えることは証明されているの？


dxやdyを普通の分数のように扱えることは証明されているの？合成関数や逆関数の微分、置換積分などではあたかもdy/dxなどを普通の分数のように扱っているように見えますが、どんな場合でも気軽に分数のように扱ってよいと証明されてるんでしょうか。それとも、上の例は結果的にそうなってるだけですか？


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